Υπολογισμός του Χρυσού Αριθμού Φ - Μαθηματική προσέγγιση (ii)
Ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και να δούμε κάποιες ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ εφαρμογές του .
Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ :
Στο σχήμα 1 έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ . Εστω Γ είναι το σημείο που διαιρεί σε "χρυσή τομή" το ΑΒ . εάν ορίσουμε το ΑΒ = α και ΑΓ = χ τότε θα έχουμε :
==> AB / AΓ = ΑΓ / ΒΓ ή α / χ = χ / (α-χ)
Από την σχέση αυτή προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση
χ2 (χ στο τετράγωνο) + αχ - α2 (α στο τετράγωνο) = 0 .
Από την οποία βρίσκουμε την τιμή της χ (=ΑΓ) , πραγματικά έχουμε ...
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) .... που σημαίνει ότι. ...
Το άγνωστο τμήμα χ (ΑΓ) είναι η μικρότερη πλευρά ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου , το οποίο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α (ΑΒ) και του οποίου (ορθογωνίου) οι διαστάσεις (πλευρές) διαφέρουν κατά α .
==> AB / AΓ = ΑΓ / ΒΓ ή α / χ = χ / (α-χ)
Από την σχέση αυτή προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση
χ2 (χ στο τετράγωνο) + αχ - α2 (α στο τετράγωνο) = 0 .
Από την οποία βρίσκουμε την τιμή της χ (=ΑΓ) , πραγματικά έχουμε ...
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) .... που σημαίνει ότι. ...
Το άγνωστο τμήμα χ (ΑΓ) είναι η μικρότερη πλευρά ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου , το οποίο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α (ΑΒ) και του οποίου (ορθογωνίου) οι διαστάσεις (πλευρές) διαφέρουν κατά α .
Β. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ "ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ" ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ (ΣΧΗΜΑ1)
Από το Β υψώνουμε κάθετο ΒΚ=α/2. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ΚΒ=α/2 , γράφομε περιφέρεια Κύκλου . Από το Α φέρνομε την ευθεία ΑΚ , η οποία και θα τέμνει την περιφέρεια του Κύκλου στα σημεία Δ και Ε .
Γράφομε επίσης περιφέρεια Κύκλου με κέντρο το Α και ακτίνα την απόσταση ΑΔ . Το σημείο Γ , όπου η περιφέρεια αυτή τέμνει το τμήμα ΑΒ , είναι το ζητούμενο σημείο , που τέμνει με "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" το τμήμα ΑΒ.
Γ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ - Φ -
Ξέρουμε ότι η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ είναι Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ενός ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ σε δύο μέρη έτσι ώστε :
Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ = ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ.
Ε , αυτός ο Λόγος = το πηλίκο είναι ένας σταθερός αριθμός ανεξάρτητα από το μέγεθος , μήκος του τμήματος και καλείται ως
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ο ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ - Φ -
Δ. Η "ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ" ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ
Όταν μιλάμε για ένα μετρήσιμο μέγεθος (εδώ μιλάμε για ένα ευθύγραμμο τμήμα , θα μπορούσαμε να μιλάμε για το ύψος ενός πύργου , για κιλά πατάτες , για μια σφαίρα , για μία "αστρονομική μονάδα" κ.λ.π) στην παραπάνω διατύπωση του προβλήματος της διαίρεσης του "μετρήσιμου μεγέθους=τμήμα ΑΒ" , σημασία δεν έχει το μήκος του τμήματος αφού μιλάμε για λόγο/πηλίκο των τμημάτων του σε μία συγκεκριμένη (ζητούμενη) σχέση μεταξύ τους , η οποία δεν διαταράσσεται είτε το τμήμα είναι 300 χιλ είτε 3 χιλιοστά .... εδώ συγκρίνουμε μέρη ενός συνόλου μεταξύ τους ... έχουμε ΣΥΓΚΡΙΣΗ - ΑΝΑΛΟΓΙΑ !
Αρα : H επιδιωκόμενη κατάτμηση (ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ) σε δύο μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος έτσι ώστε να ΤΗΡΕΙΤΑΙ ότι ....
Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ =(είναι ίσος) ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ...
ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ. =
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ (Φ)
...είναι ανεξάρτητη από το μήκος - μέγεθος του συνολικού μήκους του ευθύγραμμου τμήματος , ο λόγος αυτός (χρυσός αριθμός) είναι ένας ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ , και γενικεύοντας μπορεί να βρει ανάλογη χρυσή εφαρμογή και σε άλλα μετρήσιμα μεγέθη.
Ε. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ / ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ως "ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ"
Το 1871 για την ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ χρησιμοποιήθηκε και ο όρος "ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ" .Είδαμε στην παράγραφο Α της παρούσης ότι ισχύει :
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) όπου ΑΒ = α και ΑΓ = χ .
Προσέξτε ... α=ΑΒ , ίσο δηλαδή με το ευθύγραμμο τμήμα (του παραδείγματος μας) , το οποίο τμήμα θα μπορούσε να είναι η γραφική παράσταση - απεικόνιση ΜΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ=1 π.χ 1 μέτρο , 1 αστρονομική μονάδα* ή γενικεύοντας η γραφική παράσταση σε ευθύγραμμο τμήμα πχ 1 τετραγωνικού χιλιόμετρου κ.λ.π .
Αρα .... εάν θέσουμε όπου α=1 (μονάδα μέτρησης του ΤΑΔΕ μεγέθους)
θα έχουμε χ(χ+α) = α2 ==> χ(χ+1) = 1 ==> Χ=1/(1-Χ)=ΑΓ
Θυμάστε όμως ότι :
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ο λόγος... ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΤΟ ΤΜΗΜΑ /προς ΜΕΓΑΛΟ ΤΜΗΜΑ , άρα α=ΑΒ=1(είπαμε α=1) / προς χ=ΑΓ=1/(1-Χ)
ΑΒ = α = 1 1
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ------------------------------- = ------------------
ΑΓ = χ = 1/(1-Χ) 1 / (1-χ)
Αντικαθιστώντας το Χ κάθε φορά με το ίσο του (Χ=1/(1-Χ) θα έχουμε μία συνεχή διαίρεση όπου θα....
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) όπου ΑΒ = α και ΑΓ = χ .
Προσέξτε ... α=ΑΒ , ίσο δηλαδή με το ευθύγραμμο τμήμα (του παραδείγματος μας) , το οποίο τμήμα θα μπορούσε να είναι η γραφική παράσταση - απεικόνιση ΜΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ=1 π.χ 1 μέτρο , 1 αστρονομική μονάδα* ή γενικεύοντας η γραφική παράσταση σε ευθύγραμμο τμήμα πχ 1 τετραγωνικού χιλιόμετρου κ.λ.π .
Αρα .... εάν θέσουμε όπου α=1 (μονάδα μέτρησης του ΤΑΔΕ μεγέθους)
θα έχουμε χ(χ+α) = α2 ==> χ(χ+1) = 1 ==> Χ=1/(1-Χ)=ΑΓ
Θυμάστε όμως ότι :
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ο λόγος... ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΤΟ ΤΜΗΜΑ /προς ΜΕΓΑΛΟ ΤΜΗΜΑ , άρα α=ΑΒ=1(είπαμε α=1) / προς χ=ΑΓ=1/(1-Χ)
ΑΒ = α = 1 1
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ------------------------------- = ------------------
ΑΓ = χ = 1/(1-Χ) 1 / (1-χ)
Αντικαθιστώντας το Χ κάθε φορά με το ίσο του (Χ=1/(1-Χ) θα έχουμε μία συνεχή διαίρεση όπου θα....
ΣΤ . ΜΕ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ ΤΕΛΙΚΑ ... Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ?
......(κάνοντας σωστά τις πράξεις....)
ή αλλιώς
Ο Χρυσός Αριθμός Φ αποτελεί ρίζα της γενικής εξίσωσης :
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ είναι δηλαδή ίσος με
Φ= 1,618034 ... ισχύει και ότι .. 1/Φ=0,618034
Και μάλιστα τα δεκαδικά συνεχίζονται χωρίς καμία περιοδικότητα - επανάληψη των ψηφίων τυχαία και "χρυσά" . Πάρτε ένα κομπιουτεράκι τσέπης και υψώστε το Φ στο τετράγωνο θα διαπιστώσετε έκπληκτοι ότι εάν υψώσεις το "Φ" στο τετράγωνο είναι σαν να προσθέτεις την μονάδα.... δηλαδή ισχύει :
Ζ. Leonardo Fibonachi - η Σειρά Fibonachi !!
Ο Leonardo Fibonachi Ιταλός έμπορας (13ος αιώνας μ.Χ.) ο οποίος ταξίδευσε στην Ανατολή , όταν οι ΣΤΑΥΡΟΦΟΡΟΙ κατέλαβαν την ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ το 1204 έκλεψε τα βιβλία των ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ και όταν επέστρεψε έγραψε το Liber Abaci(120 βιβλίο του άβακα).
Στο βιβλίο του Practica geometriae 1220 ο Λενάρδος περιέγραψε,με όμοιο τρόπο την όποια γνώση υπήρχε μέχρι τότε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία. Ο Leonardo Fibonachi φέρεται να είναι εκείνος που επινόησε την γνωστή με το όνομα του "ακολουθία Φιμπονάτσι" . Η ακολουθία αυτή , έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό , κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων .
Στο βιβλίο του Practica geometriae 1220 ο Λενάρδος περιέγραψε,με όμοιο τρόπο την όποια γνώση υπήρχε μέχρι τότε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία. Ο Leonardo Fibonachi φέρεται να είναι εκείνος που επινόησε την γνωστή με το όνομα του "ακολουθία Φιμπονάτσι" . Η ακολουθία αυτή , έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό , κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων .
Κατασκευή της ακολουθίας Fibonachi .
Ξεκινάμε με το 1 και έχουμε μετά...
1,1 1+0,2 1+1,3 1+2,5 2+3,8 5+3,13 5+8,21 8+13,…,
1,1 1+0,2 1+1,3 1+2,5 2+3,8 5+3,13 5+8,21 8+13,…,
Άρα η σειρά Fibonachi είναι η ακόλουθη 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 κ.ο.κ
Η. Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonachi ΚΑΙ Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ.
Να δούμε τώρα την καταπληκτική "θεική" σχέση της σειράς Fibonachi με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ=1,618034 .
Κάντε το εξής απλό : διαιρέστε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο όρο (αντιστρέψτε το κλάσμα ) και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το Φ .
Ν όρος / Ν+1 όρος
|
Αντιστρέφουμε το κλάσμα
|
Αποτέλεσμα
|
Ν όρος / Ν+1 όρος
|
Αντιστρέφουμε το κλάσμα
|
Αποτέλεσμα
|
1/2
|
2/1
|
1
|
8/13
|
13/8
|
1,625
|
2/3
|
3/2
|
1,5
|
13/21
|
21/13
|
1,6153
|
3/5
|
5/3
|
1,666
|
21/34
|
34/21
|
1,6190
|
5/8
|
8/5
|
1,6
|
34/55
|
55/34
|
1,6176
|
Οσο πιο πολύ προχωρούμε στους μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας Fibonachi και κάνουμε την διαίρεση , τόσο πιο πολύ προσεγγίζουμε με καταπληκτική ακρίβεια τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ 1,618034 .
Τι κάναμε με την ακολουθία Fibonachi; Διαιρούσαμε δύο αριθμούς (άνισους) μίας ακολουθίας μεταξύ τους , ...άρα νοητά διαιρούσαμε τα μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος και βλέπαμε το "αριθμητικό" αποτέλεσμα της σύγκρισης , της αναλογίας. Επίσης συνεχώς εμβαθύναμε την σύγκριση των όρων προχωρώντας στους μεγαλύτερους από αυτούς (π.χ 34,55 κ.λ.π) κάναμε δηλαδή μία έμμεση ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ .
Θ. Γεωμετρική κατασκευή ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου όπου οι αναλογίες των πλευρών είναι ίσες με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ
- 
- 
- 
- 
- 
Ι. Συμπεράσματα - Συνοψίζοντας ..
Χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος (γενικά και ενός μετρήσιμου μεγέθους) είναι το σημείο εκείνο όπου ο λόγος του "συνολικού μεγέθους-τμήματος" προς τον μεγαλύτερο τμήμα ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ με τον λόγο του "μεγαλύτερου τμήματος" προς το "μικρότερο τμήμα" . Ο λόγος σε αυτή την περίπτωση ισούται με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και είναι ίσος με Φ=1,618034.
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία ΣΤΑΘΕΡΑ ,ανεξάρτητη από το μετρήσιμο μέγεθος και το είδος που γραφικά απεικονίζεται με το "ευθύγραμμο τμήμα" , αναφέρεται κυρίως σε ΑΝΑΛΟΓΙΑ - ΣΥΝΘΕΣΗ των επιμέρους στοιχείων που συνθέτουν ένα σύνολο (π.χ πλευρές ορθογώνιου παραλληλογράμμου) .
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία "ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ" , όσο πιο πολύ βάθος έχει η ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ τόσα πιο πολλά δεκαδικά και ακριβέστερη απεικόνιση έχουμε του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ "προσεγγίζεται" από την διαίρεση των όρων που συνθέτουν την ακολουθία Fibonachi .
Αλλά ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ δεν είναι ένα απλό Μαθηματικό τρικ , δεν είναι ένα θεώρημα , μία μαθηματική "τιμή" της γεωμετρικής κατασκευής του "θεωρήματος της ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ" , είναι μία ΘΕΪΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ , μία ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ , ένα μυστήριο ΖΩΗΣ που συναντάμε σχεδόν καθημερινά , ίσως και να του χρεωστάμε περισσότερα από ότι νομίζουμε ...ίσως ... και την ύπαρξη μας ?
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου