Μαθηματικά στη φύση

Δείτε και αυτό το φανταστικό βίντεο...

Μοτίβα στη Φύση

Παρακάτω παρουσιάζονται μοτίβα που εμφανίζονται στη φύση.

ΤΑ ΜΟΤΙΒΑ ΣΤΗΝ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΖΩΑ...

Μείωση

Τα σπερµατοζωάρια και τα ωάρια - γαµέτες - διαφέρουν από τα σωµατικά κύτταρα. Κάθε γαµέτης φέρει 22 αυτοσωµατικά και ένα φυλετικό χρωµόσωµα, που µπορεί να είναι το Χ ή το Y. Απλοειδές κύτταρο είναι εκείνο που έχει µόνο 23 χρωµoσώµατα (n=23). Με τη γονιµοποίηση, το απλοειδές σπερµατοζωάριο ενώνεται µε το απλοειδές ωάριο και δηµιουργείται το ζυγωτό που είναι πλέον ένα διπλοειδές κύτταρο (2n=46). Καθώς αναπτύσσεται το ζυγωτό σε άτοµο µε τρισεκατοµµύρια κύτταρα, τα γονίδιά του µεταβιβάζονται µε θαυµαστή ακρίβεια σε όλα τα κύτταρα, µε τη διαδικασία της µίτωσης.
Τα σωµατικά κύτταρα, όπως και το ζυγωτό, είναι διπλοειδή κύτταρα. Τα µοναδικά κύτταρα που δεν παράγονται µε µίτωση είναι οι γαµέτες. Τα κύτταρα αυτά παράγονται στις γονάδες, στους όρχεις και στις ωοθήκες και διαθέτουν από 23 χρωµoσώµατα το καθένα. Αυτό είναι πολύ σηµαντικό γιατί η συνένωση δύο γαµέτων θα δηµιουργήσει ζυγωτό µε 46 χρωµατοσώµατα. Ο τρόπος µε τον οποίο παράγονται οι γαµέτες ονοµάζεται µείωση.

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΝΑΥΤΙΛΟΥ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟ ΣΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI ΚΑΙ ΤΗΝ ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

1.Σχεδιάζουμε ένα αρχικό τετράγωνο πλευράς 2cm.
2.Σχηματίζουμε ακριβώς δίπλα άλλο ένα τετράγωνο ίσης πλευράς.
3.Έπειτα με μήκος 4cm, σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο που η μία πλευρά του είναι και πλευρά των δύο μικρότερων τατραγώνων που φτιάξαμε πριν.
4.Έχοντας τα δύο τατράγωνα 2cm και το άλλο των 4cm στα αριστερά μας, φτιάχνουμε ένα τετράγωνο κολλητά στα άλλα  δύο, πλευράς 6cm(αυτό δημιουργείται από το άθροισμα των πλευρών των δύο προηγούμενων τετραγώνων).
5.Ακολουθώντας την φορά των τετραγώνων σχεδιάζουμε από κάτω απ´το σχήμα που έχουμε φτιάξει ένα ακόμα τετράγωνο με πλευρά ίση με το άθροισμα των δύο προηγούμενων (δηλαδή 10cm).
6.Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με ένα τετράγωνο πλευράς 16cm(από το άθροισμα των 6 και 10).
7.Ένα ακόμα τετράγωνο πλευράς 26 cm (από το 10 και 26).
8. Το τελευταίο τετράγωνο έχει πλευρά 68cm ( από το 26 και 42).

Ναυτίλος

Ναυτίλος (ζωολογία)

Τα κεφαλόποδα ανήκουν στη συνομοταξία των υδρόβιων μαλακίων, αποτελούν το πιο εξελιγμένο είδος τους και ονομάστηκαν έτσι επειδή τα πλοκάμια τους εκφύονται από το κεφάλι τους. Στην ομοταξία τους περιλαμβάνονται, μεταξύ άλλων, τα θράψαλα, τα καλαμάρια, οι μοσκιοί, οι σουπιές και τα χταπόδια, όπως και είδη που φαινομενικά δεν μοιάζουν ιδιαίτερα στα προηγούμενα, ανάμεσα στα οποία και ο ο ναυτίλος.

Οι Μαορί

      

Μαορί ή Μάορι (Maori) είναι το όνομα ιθαγενούς πληθυσμού της Νέας Ζηλανδίας και της γλώσσας του.

Η λέξη maori σημαίνει «κανονικός» ή «κοινός» στην Μαορί γλώσσα και διακρίνει τα θνητά όντα από τους θεούς. 

Οι Μαορί της Νέας Ζηλανδίας ισχυρίζονται ότι όταν οι πρόγονοί τους ήρθαν νότια στα νησιά της Πολυνησίας (2.000 μίλια βορειο-ανατολικά της Ν.Ζ.) , είκοσι με τριάντα γενιές πριν (1.000 τουλάχιστον χρόνια, αν όχι περισσότερο), κάποιοι από αυτούς, συνέχισαν νοτιότερα,όπου και εγκαταστάθηκαν. Πιστεύουν ότι το Νότιο Σέλας(Aurora Australis) ήταν αντανακλάσεις στον ουρανό από τεράστιες φωτιές που άναβαν οι απόγονοι αυτών των αρχαίων ταξιδευτών, προσπαθώντας με αυτό τον τρόπο να επικοινωνήσουν με τους μακρινούς τους συγγενείς στα νησιά της Πολυνησίας, ελπίζοντας ότι θα έρθουν να τους διασώσουν από την παγωμένη τους κατοικία. 

Η θρησκεία των Μαορί είναι στενά συνδεδεμένη με τη φύση και τους προγόνους, και όλα τα πράγματα θεωρείται πως έχουν μια δύναμη ζωής ή mauri, αφού όλα τα ζώντα όντα συνδέονται από μία κοινή καταγωγή μέσω της whakapapa ή γενεαλογίας. Μερικοί άνθρωποι ή αντικείμενα περιέχουν mana - πνευματική δύναμη ή ουσία.

Οι Μαορί έχουν τα δικά τους πιστεύω για τη δημιουργία του κόσμου. Στην αρχή υπήρχε μόνο κενό, ώσπου εμφανίστηκε ένας ανώτατος δημιουργός που έπλασε το Ράντζι, που ήταν ο ουρανός, και τη γυναίκα του την Πάπα, η γη. Αυτοί ήταν τόσο αγαπημένοι που βρίσκονταν σε συνεχή εναγκαλισμό και αρνιόνταν να αφήσουν ο ένας τον άλλο. Έτσι το φως δεν έφτανε στη γη καθώς το εμπόδιζε ο Ράντζι. 


Από την ένωση τους γεννήθηκε ο Τανγκαρόα, ο θεός της θάλασσας από τον οποίο κατάγονται οι ωκεανοί και τα ψάρια, ο Τάνε, ο θεός του δάσους από τον οποίο κατάγονται όλα τα πτηνά, ο Ρόνγκο που είναι ο θεός των ειρηνικών δραστηριοτήτων και της γεωργίας και ο Ταουχίρι, ο θεός των ανέμων. Αυτά τα παιδιά παρέμεναν στριμωγμένα και μέσα στο σκοτάδι, ανάμεσα στους γονείς τους και πάλευαν για να αποδράσουν. 

 

Πέρασε ο καιρός και τα παιδιά μεγάλωσαν και άρχισαν να συζητούν μεταξύ τους για την άσχημη θέση τους. Ο Τανγκαρόα πρότεινε να σκοτώσουν τους γονείς τους και να ξεφύγουν. Οι άλλοι δεν συμφώνησαν και τελικά ο Τάνε, ο πιο θαρραλέος από όλους, πρότεινε να τους χωρίσουν. Προσπαθώντας να βγει στο φως κατάφερε μετά από πολλά χρόνια να διαχωρίσει τους γονείς του τοποθετώντας τους στη σημερινή τους θέση.

Τότε το φως κατάφερνε να φτάνει στη γη και η γη έγινε πράσινη ενώ ο Τάνε δημιούργησε τον ήλιο και τη σελήνη και διακόσμησε τον ουρανό με άστρα.
Μετά ο Τάνε δημιούργησε την πρώτη γυναίκα, την Χίνε, και την παντρεύτηκε και τα παιδιά τους ήταν οι πρώτοι Μαορί. Ο Ράντζι και η Πάπα όμως ήταν δυστυχισμένοι και νοσταλγούσαν τόσο ο ένας τον άλλον που συνέχεια κλαίγανε. Τα δάκρυα του Ράντζι είναι η βροχή που έφτιαξε τη θάλασσα και τα ποτάμια, ενώ η ομίχλη είναι τα δάκρυα της Πάπα.Ο Ταουχίρι νευριασμένος από τη συμπεριφορά των γονιών του τους απείλησε ότι θα είναι αντιμέτωποι για πάντα με την οργή και τα νεύρα του.
Οι Μαορί της Νέας Ζηλανδίας πιστεύουν ότι η ψυχή επιστρέφει στη γη, μετά το θάνατο, με τη μορφή της πεταλούδας.
    
Όλα τα πρωταρχικά αυτά στοιχεία της παράδοσής τους αποτυπώνονται πολύ καλά στο χάκα (haka) ένα από τα πολλά είδη ομαδικού χορού ή παράστασης. Εκτελούνται διάφορα χάκα σε σχέση με την περίπτωση. Υπάρχουν χάκα τραγουδιού και χαράς, και πολεμικά χάκα. Υπάρχουν διάφορου τύποι πολεμικού χάκα - ένα που εκτελείται χωρίς όπλα, συνήθως για να εκφράσει δημόσια ή ιδιωτικά αισθήματα, είναι γνωστό ως "haka taparahi". Ένα άλλο, το peruperu, εκτελείται με όπλα. Σε παλαιότερες εποχές, το περουπέρου εκτελείτο πριν από τη μάχη. Σκοπός του ήταν να επικληθεί τον θεό του πολέμου και να προειδοποιήσει τους εχθρούς για τη μοίρα που τους περίμενε. Περιλάμβανε άγριες εκφράσεις προσώπου και γκριμάτσες, το βγάλσιμο της γλώσσας, φούσκωμα των ματιών, γρυλίσματα και κραυγές, και το κούνημα των όπλων. Αν το χάκα δεν εκτελείτο με πλήρη ομοφωνία, αυτό θεωρείτο κακός οιωνός για τη μάχη. Συχνά οι πολεμιστές πήγαιναν γυμνοί στη μάχη,"ντυμένοι" μόνο με τα απίθανα τατουάζ σε όλο τους το σώμα και μία πλεκτή από λινάτι ζώνη γύρω από τη μέση. Σκοπός των πολεμιστών ήταν να σκοτώσουν όλα τα μέλη από την εχθρική πολεμική ομάδα, ώστε να μην παραμείνει κανείς επιζών που να πάρει εκδίκηση. Στο σημερινό περιβάλλον ωστόσο, το χάκα εκτελείται ως σημάδι σεβασμού για εκλεκτούς επισκέπτες, ή για να εκφράσει την σημαντικότητα της περίστασης.

  

Ζωγραφική
Οι Μαορί εμπνεύστηκαν για τα περισσότερα σχέδιά τους από τον εκπληκτικό μίσχο της φτέρης.

μοτιβο με νιφαδες

Ο ναυτίλος

Ο ναυτίλος είναι ένα ζωντανό απολίθωμα που επιβίωσε στους ωκεανούς για πάνω από 500 εκατομμύρια χρόνια. Υπάρχει πριν από τα ψάρια, τους δεινόσαυρους και τα θηλαστικά! Ο Ναυτίλος μπορούσε να φτάσει μέχρι τα 6 μέτρα μήκος και ήταν αρπακτικό στις αρχαίες θάλασσες.   Σας θυμίζει κάτι;;;
 

Οστρακα, κυκλώνες, γαλαξίες και χρυσή τομή

Τόσο η φύση όσο και οι καλλιτέχνες φαίνεται ότι ακολουθούν τους κανόνες της αρμονίας, η οποία βασίζεται σε μαθηματικούς τύπους που είχαν επινοήσει οι αρχαίοι Ελληνες

H λογαριθμική σπείρα (με μπλε γραμμή) μπορεί να εγγραφεί σε μια άπειρη ακολουθία «χρυσών» ορθογωνίων (με κόκκινη γραμμή)

Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Κανένας όμως δεν μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τομή.

Μοτίβα στα μαθηματικά

Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή τομή:
http://lifewithmathematics.blogspot.com/2009/10/fibonacci.html

Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία:
http://users.auth.gr/sgardeli/Mathjune05V1.pdf

Fractals:
http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_patsiomitou.pdf

ΒΡΑΒΕΙΟ ΝΟΜΠΕΛ ΧΗΜΕΙΑΣ 2011

ΣΟΥΗΔΙΚΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ:

Το βραβείο Νόμπελ Χημείας για το 2011 απονέμεται εξίσου στον Daniel Shechtman (Ισραήλ):

"Για την ανακάλυψη των ημι-κρυστάλλων"

"For the discovery of quasicrystals"

(quasi: πρόθημα που σημαίνει οιονεί, κατά κάποιο τρόπο, σαν)

Το 1982, ο Daniel Shechtman κατά τη μελέτη διαφόρων κρυστάλλων παρατήρησε στο ηλεκτρονικό του μικροσκόπιο μα εικόνα που φαινόταν να αντιτίθεται στους νόμους της φύσης για τη στερεά ύλη. Οι επιστήμονες πίστευαν επί δεκαετίες ότι τα άτομα μέσα στους κρυστάλλους "πακετάρονται" (packed) με συμμετρικά μοτίβα σχεδίου (patterns), τα οποία επαναλαμβάνονταν περιοδικά ξανά και ξανά. Για τους επιστήμονες η περιοδική επανάληψη ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για να σχηματισθεί ένας κρύσταλλος. Παρόλα αυτά, η διαμόρφωση (configuration) στους ημι-κρυστάλλους, που βρήκε ο Shechtman, ήταν διαφορετική και έμοιαζε εκπληκτικά με τα μωσαϊκά του Αραβικού κόσμου, δηλαδή σχέδια-μοτίβα που επαναλαμβάνονται αλλά όχι συμμετρικά. Η άποψη αυτή επί χρόνια θεωρούνταν εσφαλμένη ή αιρετική και ο Shechtman έπρεπε να "παλέψει" για την ιδέα του μεταξύ των επιστημόνων μέχρι να δικαιωθεί [Linus Pauling: "There is no such thing as quasicrystals, only quasi-scientists"].

Αριστερά: κρυσταλλικό υλικό χωρίς επαναλαμβανόμενες δομές (εδώ: κράμα Ag-Al). Κέντρο και δεξιά: Απεριοδικά μωσαϊκά.

Η δομή των ημι-κρυστάλλων είναι όμοια με τα αραβικά μωσαϊκά της Αλάμπρα. Μοτίβα που δεν επαναλαμβάνονται.

Οι εικόνες που λάμβανε ο Shechtman των ημι-κρυστάλλων έδειχναν ότι τα άτομα κατανέμονται σε μωσαϊκά σχέδια των οποίων το μοτίβο δεν επαναλαμβάνονταν συμμετρικά. Το σχέδιο θεωρούνταν αδύνατο να σχηματισθεί, ως να έχουμε να σχηματίσουμε μια μπάλα ποδοσφαίρου χρησιμοποιώντας εξάγωνα πολύγωνα, ενώ για μια σφαίρα απαιτούνται πεντάγωνα και εξάγωνα.

Η ανακάλυψη του Shechtman όμως έδειχνε ότι το μοτίβο της τακτοποίησης των ατόμων στον κρύσταλλο είναι ένα απεριοδικό μωσαϊκό, όπως τα ισλαμικά μωσαϊκά του Μεσαίωνα στο παλάτι της Αλαμπρα της Ισπανίας και στην κρήνη Darb-I Imam, Isfahan Ιράν (χτίσθηκε το 1453). Τα μωσαϊκά αυτά έχουν σχέδια τα οποία δεν επαναλαμβάνονται συμμετρικά σε όλη τους την έκταση, αλλά ενώ ακολουθούν μαθηματικούς κανόνες, ποτέ δεν επαναλαμβάνονται. Η ιδέα του βέβαια ήταν αιρετική μεταξύ των επιστημόνων για την κρυσταλλική ύλη.

'Οταν οι επιστήμονες περιγράφουν τους ημι-κρυστάλλους του Shechtman χρησιμοποιώντας μια έννοια που προέρχεται από τα μαθηματικά και την τέχνη, τηχρυσή αναλογία ή χρυσό λόγο (golden ratio). Η αναλογία αυτή είχε εξάψει τη φαντασία των Αρχαίων Ελλήνων επιστημόνων και εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. Στους ημι-κρυστάλλους η αναλογία των αποστάσεων μεταξύ των ατόμων συνδέεται με αυτήν τη χρυσή αναλογία.

Οι επιστήμονες, μετά την ανακάλυψη του Shechtman, δημιούργησαν διάφορους ημι-κρυστάλλους στο εργαστήριο, αλλά ανακάλυψαν και ημι-κρυστάλλους στη φύση (σε έναν Ρωσικό ποταμό). Μια Σουηδική εταιρεία επίσης βρήκε ημι-κρυστάλλους σε ορισμένες μορφές χυτοσιδήρου. Οι επιστήμονες πειραματίζονται με ημι-κρυστάλλους σε διάφορα προϊόντα, όπως σε αντικολλητικά τηγάνια ψησίματος, φωτοδιόδους, τα γνωστά LED και στις μηχανές ντήζελ.

Μοτίβα περίθλασης του Daniel Shechtamn ενός ημικρυστάλλου.

Η εικόνα επαναλαμβάνεται 10 φορές για μια πλήρη περιστροφή (δηλ. κάθε 36 μοίρες)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Σύντομο βιογραφικό σημείωμα του Daniel Shechtman (Iowa State University).

2. Shechtman D, Blech L, Gratias D, Cahn JW: "Metallic phase with long range orientational order and no translational symmetry", Phys Rev Lett 53:1951-1953, 1984.

3. Levine D, Steinhardt PJ: "Quasicrystals : a new class of ordered structures", Phys Rev Lett 53:2477-2480, 1984.

4. Steinhardt PJ, Ostlund S: "The Physics of Quasicrystals", World Scientific Pbls, Singapore and Teanck, NJ, 1987.

Επιμέλεια κειμένου: Θανάσης Βαλαβανίδης, Καθηγητής    

http://www.chem.uoa.gr/scinews/nobels/nobel2011.htm