Σελιδες

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Τρίτη 20 Δεκεμβρίου 2011

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ /ΑΡΙΘΜΟΣ Φ /ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACHI


ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ
Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Κανένας όμως δεν μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τομή.

Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, με τη γνωστή αδυναμία τους στην τελειότητα της αρμονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε «μέσο και άκρο λόγο».Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε από τους αρχαίους Χρυσή Τομή ή θεία αναλογία και ισούται, περίπου, με 1,62. Κατά τους αρχαίους Έλληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. 
Πέρα όμως από τη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων, η Χρυσή Τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. H σημασία της Χρυσής Τομής όμως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες, όπως ίσως θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς εκ πρώτης όψεως. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίωνΟ ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ είναι δηλαδή ίσος με
Φ= 1,618034 ... ισχύει και ότι .. 1/Φ=0,618034
Και μάλιστα τα δεκαδικά συνεχίζονται χωρίς καμία περιοδικότητα - επανάληψη των ψηφίων τυχαία και "χρυσά" .

Παρασκευή 25 Νοεμβρίου 2011

Η χρυσή αναλογία

Ανακαλύφθηκε από Έλληνες και σε πολλές περιπτώσεις σχετίζεται με την αρχιτεκτονική και γενικά με τις τέχνες και πηγάζει από την προϊστορική τέχνη και τη φύση και την ομορφιά του ανθρώπινου σώματος. Σχετίζεται με τα μαθηματικά και δείχνει πως οι αριθμητικές πράξεις και η απόλυτη γεωμετρία εφαρμόζονται με ακρίβεια πάνω σε κάθε σημείο του ανθρώπινου σώματος. Τα τρίγωνα κυριαρχούν σε κάθε είδος τους (π.χ ορθογώνια, ισοσκελή, ισόπλευρα) και ορίζουν με ακρίβεια τις αναλογίες, το μέγεθος και τις γωνίες.
Υπάρχει απόλυτη συμμετρία σε κάθε άκρο του ανθρώπινου σώματος, στην οδοντοστοιχία και σε ολόκληρο το κεφάλι. Ακόμα και τα κύτταρα που αποτελούν τον ανθρώπινο οργανισμό σε πολλές περιπτώσεις είναι συμμετρικά και δημιουργούνται με απόλυτη ακρίβεια. Επιπλέον η χρυσή τομή σχετίζεται άμεσα με τα μοτίβα και τις αναλογίες. Είναι βασισμένη στη φιλοσοφία τους και επαναλαμβάνεται μέσα από καθορισμένα μαθηματικά απόλυτη συμμετρία και γενικότερα οι ρίζες της γεωμετρίας είναι η βάση τους.
Τέλος, η χρυσή αναλογία εμφανίζεται και στη φύση στο έμβιο και άβιο περιβάλλον. Για παράδειγμα τεράστια αναλογία και απόλυτη συμμετρικότητα εμφανίζεται στα φτερά της πεταλούδας στα οποία παρατηρούνται γεωμετρικά σχήματα.

Τρίτη 22 Νοεμβρίου 2011



ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΝΑΥΤΙΛΟΥ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟ ΣΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI ΚΑΙ ΤΗΝ ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

1.Σχεδιάζουμε ένα αρχικό τετράγωνο πλευράς 2cm.
2.Σχηματίζουμε ακριβώς δίπλα άλλο ένα τετράγωνο ίσης πλευράς.
3.Έπειτα με μήκος 4cm, σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο που η μία πλευρά του είναι και πλευρά των δύο μικρότερων τατραγώνων που φτιάξαμε πριν.
4.Έχοντας τα δύο τατράγωνα 2cm και το άλλο των 4cm στα αριστερά μας, φτιάχνουμε ένα τετράγωνο κολλητά στα άλλα  δύο, πλευράς 6cm(αυτό δημιουργείται από το άθροισμα των πλευρών των δύο προηγούμενων τετραγώνων).
5.Ακολουθώντας την φορά των τετραγώνων σχεδιάζουμε από κάτω απ´το σχήμα που έχουμε φτιάξει ένα ακόμα τετράγωνο με πλευρά ίση με το άθροισμα των δύο προηγούμενων (δηλαδή 10cm).
6.Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με ένα τετράγωνο πλευράς 16cm(από το άθροισμα των 6 και 10).
7.Ένα ακόμα τετράγωνο πλευράς 26 cm (από το 10 και 26).
8. Το τελευταίο τετράγωνο έχει πλευρά 68cm ( από το 26 και 42).

Πέμπτη 10 Νοεμβρίου 2011

Παρακάτω βλέπετε την καμπύλη του Koch σε διάφορα στάδια. Κάντε κλικ εδώ για να την δείτε να σχηματίζεται http://classes.yale.edu/fractals/FracAndDim/KochThckn.gif




Πηγή: http://classes.yale.edu/fractals/


Ρίξτε μια ματιά στα fractals που έχουν φτιαχτεί με τη βοήθεια υπολογιστών και τη χρήση συναρτήσεων. http://www.chaospro.de/gallery/gallery.php?cat=Attractor
Σας θυμίζουν κάτι;
Στα downloads μπορείτε να κατεβάσετε ένα πρόγραμμα αλλάζετε τις παραμέτρους στις συναρτήσεις που παράγουν διάφορα fractals και βλέπετε πώς αυτά αλλάζουν.

Εδώ δείτε μερικά δείγματα τέχνης εμπνευσμένης από μαθηματικά fractals.
http://www.ultrafractal.com/showcase/index.html

Τρίτη 8 Νοεμβρίου 2011

Fractals

Σχεδόν ο καθένας μας έχει θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια, περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια τα computers αφού είναι σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης.
Πολλοί άνθρωποι τα βλέπουν δίχως να γνωρίζουν τι είναι αυτές οι φανταστικές έγχρωμες εικόνες και πως δημιουργούνται. Μερικοί έχουν ακούσει πως υπάρχει κάποια σύνδεση τους με ορισμένα φυσικά αντικείμενα δίχως να πολυκαταλαβαίνουν ποιά σύνδεση εννοείται.
Οι περισσότεροι από μας όταν ακούνε σχέδια ή σχήματα έχουν στο μυαλό τους κάποια ευκλείδια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα fractals διαφέρουν από αυτά σε δύο παράγοντες:
1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς ευατόν. Ετσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.
2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.

μοτιβο με νιφαδες

Η νιφάδα μας

ΝΙΦΑΔΑ ΤΟΥ KOCH


Η χιονονιφάδα του Koch
Αρχικά φτιάξαμε ένα πολύ μεγάλο ισόπλευρο τρίγωνο. Μετά χωρίσαμε κάθε μία από τις τρεις πλευρές του σε τρία ίσα μέρη και φτιάξαμε σ αυτά ισόπλευρα τρίγωνα.
Ύστερα χωρίσαμε τις πλευρές των τριγώνων και φτιάξαμε σ αυτές κι άλλα ισόπλευρα.
Τέλος, σβήσαμε κάποιες πλευρές που περίσσευαν και δημιουργήθηκε η χιονονιφάδα του Koch.

Δευτέρα 7 Νοεμβρίου 2011

Ένας ακόμα σύνδεσμος

http://www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-phi-golden.html

Δείτε τις εικόνες της ιστοσελίδας και επιλέξτε αυτές που είναι σχετικές με το αντικείμενο της έρευνας σας.

Ο ναυτίλος

Ο ναυτίλος είναι ένα ζωντανό απολίθωμα που επιβίωσε στους ωκεανούς για πάνω από 500 εκατομμύρια χρόνια. Υπάρχει πριν από τα ψάρια, τους δεινόσαυρους και τα θηλαστικά! Ο Ναυτίλος μπορούσε να φτάσει μέχρι τα 6 μέτρα μήκος και ήταν αρπακτικό στις αρχαίες θάλασσες.   Σας θυμίζει κάτι;;;
Nautilus ShellNautilus Nautilus
Fibonacci NumbersNautilus spiral

Οστρακα, κυκλώνες, γαλαξίες και χρυσή τομή

Τόσο η φύση όσο και οι καλλιτέχνες φαίνεται ότι ακολουθούν τους κανόνες της αρμονίας, η οποία βασίζεται σε μαθηματικούς τύπους που είχαν επινοήσει οι αρχαίοι Ελληνες
Οστρακα, κυκλώνες, γαλαξίες και χρυσή τομή
H λογαριθμική σπείρα (με μπλε γραμμή) μπορεί να εγγραφεί σε μια άπειρη ακολουθία «χρυσών» ορθογωνίων (με κόκκινη γραμμή)

Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Κανένας όμως δεν μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τομή.

Υπολογισμός του Χρυσού Αριθμού Φ - Μαθηματική προσέγγιση (ii)
Ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και να δούμε κάποιες ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ εφαρμογές του .
Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ :
Στο σχήμα 1 έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ . Εστω Γ είναι το σημείο που διαιρεί σε "χρυσή τομή" το ΑΒ . εάν ορίσουμε το ΑΒ = α και ΑΓ = χ τότε θα έχουμε :
==> AB / AΓ = ΑΓ / ΒΓ ή α / χ = χ / (α-χ)
Από την σχέση αυτή προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση
χ2 (χ στο τετράγωνο) + αχ - α2 (α στο τετράγωνο) = 0 .
Από την οποία βρίσκουμε την τιμή της χ (=ΑΓ) , πραγματικά έχουμε ...
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) .... που σημαίνει ότι. ...
Το άγνωστο τμήμα χ (ΑΓ) είναι η μικρότερη πλευρά ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου , το οποίο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α (ΑΒ) και του οποίου (ορθογωνίου) οι διαστάσεις (πλευρές) διαφέρουν κατά α .


Τρίτη 18 Οκτωβρίου 2011

ΒΡΑΒΕΙΟ ΝΟΜΠΕΛ ΧΗΜΕΙΑΣ 2011


ΣΟΥΗΔΙΚΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ:
Το βραβείο Νόμπελ Χημείας για το 2011 απονέμεται εξίσου στον Daniel Shechtman (Ισραήλ):
"Για την ανακάλυψη των ημι-κρυστάλλων"

"For the discovery of quasicrystals"
(quasi: πρόθημα που σημαίνει οιονεί, κατά κάποιο τρόπο, σαν)


Το 1982, ο Daniel Shechtman κατά τη μελέτη διαφόρων κρυστάλλων παρατήρησε στο ηλεκτρονικό του μικροσκόπιο μα εικόνα που φαινόταν να αντιτίθεται στους νόμους της φύσης για τη στερεά ύλη. Οι επιστήμονες πίστευαν επί δεκαετίες ότι τα άτομα μέσα στους κρυστάλλους "πακετάρονται" (packed) με συμμετρικά μοτίβα σχεδίου (patterns), τα οποία επαναλαμβάνονταν περιοδικά ξανά και ξανά. Για τους επιστήμονες η περιοδική επανάληψη ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για να σχηματισθεί ένας κρύσταλλος. Παρόλα αυτά, η διαμόρφωση (configuration) στους ημι-κρυστάλλους, που βρήκε ο Shechtman, ήταν διαφορετική και έμοιαζε εκπληκτικά με τα μωσαϊκά του Αραβικού κόσμου, δηλαδή σχέδια-μοτίβα που επαναλαμβάνονται αλλά όχι συμμετρικά. Η άποψη αυτή επί χρόνια θεωρούνταν εσφαλμένη ή αιρετική και ο Shechtman έπρεπε να "παλέψει" για την ιδέα του μεταξύ των επιστημόνων μέχρι να δικαιωθεί [Linus Pauling: "There is no such thing as quasicrystals, only quasi-scientists"].





Αριστερά: κρυσταλλικό υλικό χωρίς επαναλαμβανόμενες δομές (εδώ: κράμα Ag-Al). Κέντρο και δεξιά: Απεριοδικά μωσαϊκά.
Η δομή των ημι-κρυστάλλων είναι όμοια με τα αραβικά μωσαϊκά της Αλάμπρα. Μοτίβα που δεν επαναλαμβάνονται.


Οι εικόνες που λάμβανε ο Shechtman των ημι-κρυστάλλων έδειχναν ότι τα άτομα κατανέμονται σε μωσαϊκά σχέδια των οποίων το μοτίβο δεν επαναλαμβάνονταν συμμετρικά. Το σχέδιο θεωρούνταν αδύνατο να σχηματισθεί, ως να έχουμε να σχηματίσουμε μια μπάλα ποδοσφαίρου χρησιμοποιώντας εξάγωνα πολύγωνα, ενώ για μια σφαίρα απαιτούνται πεντάγωνα και εξάγωνα.
Η ανακάλυψη του Shechtman όμως έδειχνε ότι το μοτίβο της τακτοποίησης των ατόμων στον κρύσταλλο είναι ένα απεριοδικό μωσαϊκό, όπως τα ισλαμικά μωσαϊκά του Μεσαίωνα στο παλάτι της Αλαμπρα της Ισπανίας και στην κρήνη Darb-I Imam, Isfahan Ιράν (χτίσθηκε το 1453). Τα μωσαϊκά αυτά έχουν σχέδια τα οποία δεν επαναλαμβάνονται συμμετρικά σε όλη τους την έκταση, αλλά ενώ ακολουθούν μαθηματικούς κανόνες, ποτέ δεν επαναλαμβάνονται. Η ιδέα του βέβαια ήταν αιρετική μεταξύ των επιστημόνων για την κρυσταλλική ύλη.





ταν οι επιστήμονες περιγράφουν τους ημι-κρυστάλλους του Shechtman χρησιμοποιώντας μια έννοια που προέρχεται από τα μαθηματικά και την τέχνη, τηχρυσή αναλογία ή χρυσό λόγο (golden ratio). Η αναλογία αυτή είχε εξάψει τη φαντασία των Αρχαίων Ελλήνων επιστημόνων και εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. Στους ημι-κρυστάλλους η αναλογία των αποστάσεων μεταξύ των ατόμων συνδέεται με αυτήν τη χρυσή αναλογία.
Οι επιστήμονες, μετά την ανακάλυψη του Shechtman, δημιούργησαν διάφορους ημι-κρυστάλλους στο εργαστήριο, αλλά ανακάλυψαν και ημι-κρυστάλλους στη φύση (σε έναν Ρωσικό ποταμό). Μια Σουηδική εταιρεία επίσης βρήκε ημι-κρυστάλλους σε ορισμένες μορφές χυτοσιδήρου. Οι επιστήμονες πειραματίζονται με ημι-κρυστάλλους σε διάφορα προϊόντα, όπως σε αντικολλητικά τηγάνια ψησίματος, φωτοδιόδους, τα γνωστά LED και στις μηχανές ντήζελ.
Μοτίβα περίθλασης του Daniel Shechtamn ενός ημικρυστάλλου.
Η εικόνα επαναλαμβάνεται 10 φορές για μια πλήρη περιστροφή (δηλ. κάθε 36 μοίρες)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
2Shechtman D, Blech L, Gratias D, Cahn JW: "Metallic phase with long range orientational order and no translational symmetry", Phys Rev Lett 53:1951-1953, 1984.
3Levine D, Steinhardt PJ: "Quasicrystals : a new class of ordered structures", Phys Rev Lett 53:2477-2480, 1984.
4Steinhardt PJ, Ostlund S: "The Physics of Quasicrystals", World Scientific Pbls, Singapore and Teanck, NJ, 1987.


Επιμέλεια κειμένου: Θανάσης Βαλαβανίδης, Καθηγητής