ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ /ΑΡΙΘΜΟΣ Φ /ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACHI

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Κανένας όμως δεν μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τομή.

Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, με τη γνωστή αδυναμία τους στην τελειότητα της αρμονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε «μέσο και άκρο λόγο».Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε από τους αρχαίους Χρυσή Τομή ή θεία αναλογία και ισούται, περίπου, με 1,62. Κατά τους αρχαίους Έλληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. 

Πέρα όμως από τη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων, η Χρυσή Τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. H σημασία της Χρυσής Τομής όμως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες, όπως ίσως θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς εκ πρώτης όψεως. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίωνΟ ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ είναι δηλαδή ίσος με

Φ= 1,618034 ... ισχύει και ότι .. 1/Φ=0,618034
Και μάλιστα τα δεκαδικά συνεχίζονται χωρίς καμία περιοδικότητα - επανάληψη των ψηφίων τυχαία και "χρυσά" .

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACHI

Ο Leonardo Fibonachi Ιταλός έμπορας (13ος αιώνας μ.Χ.) ο οποίος ταξίδευσε στην Ανατολή , όταν οι ΣΤΑΥΡΟΦΟΡΟΙ κατέλαβαν την ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ το 1204 έκλεψε τα βιβλία των ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ και όταν επέστρεψε έγραψε το Liber Abaci(120 βιβλίο του άβακα).

Στο βιβλίο του Practica geometriae 1220 ο Λενάρδος περιέγραψε,με όμοιο τρόπο την όποια γνώση υπήρχε μέχρι τότε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία. Ο Leonardo Fibonachi φέρεται να είναι εκείνος που επινόησε την γνωστή με το όνομα του "ακολουθία Φιμπονάτσι" . Η ακολουθία αυτή , έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό , κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων .

Κατασκευή της ακολουθίας Fibonachi. Ξεκινάμε με το 1 και έχουμε μετά...

1,1 1+0,2 1+1,3 1+2,5 2+3,8 5+3,13 5+8,21 8+13,…,
Άρα η σειρά Fibonachi είναι η ακόλουθη 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610  κ.ο.κ 


ΑΡΙΘΜΟΣ Φ

Χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος (γενικά και ενός μετρήσιμου μεγέθους) είναι το σημείο εκείνο όπου ο λόγος του "συνολικού μεγέθους-τμήματος" προς τον μεγαλύτερο τμήμα ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ με τον λόγο του "μεγαλύτερου τμήματος" προς το "μικρότερο τμήμα" . Ο λόγος σε αυτή την περίπτωση ισούται με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και είναι ίσος με Φ=1,618034.

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία ΣΤΑΘΕΡΑ, ανεξάρτητη από το μετρήσιμο μέγεθος και το είδος που γραφικά απεικονίζεται με το "ευθύγραμμο τμήμα" , αναφέρεται κυρίως σε ΑΝΑΛΟΓΙΑ - ΣΥΝΘΕΣΗ των επιμέρους στοιχείων που συνθέτουν ένα σύνολο (π.χ πλευρές ορθογώνιου παραλληλογράμμου) .  Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία "ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ" , όσο πιο πολύ βάθος έχει η ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ τόσα πιο πολλά δεκαδικά και ακριβέστερη απεικόνιση έχουμε του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ "προσεγγίζεται" από την διαίρεση των όρων που συνθέτουν την ακολουθία Fibonachi .